La quarta dimesnione

La quarta dimensione


"La maggior parte del nostro essere vive nella quarta dimensione, ma di questa parte maggiore siamo inconsapevoli... Viviamo in un mondo 4D, ma siamo consapevoli di noi stessi solo in un mondo 3D".
P.D.Ouspensky

La mia scelta è ricaduta su tale argomento in seguito alla lettura del libro Flatlandia di Edwin Abbott. Flatlandia è un classico del XIX secolo, e narra di un ipotetico mondo bidimensionale che entra in contatto con un essere della terza dimensione. Abbott, procedendo per analogia, giunge alla conclusione che, come è difficile se non impossibile per un essere della seconda dimensione percepirne una terza, allo stesso modo un essere tridimensionale si troverebbe in grandissima difficoltà a dover percepire una quarta dimensione. La mia riflessione è partita da qui: infatti se davvero esistesse una quarta dimensione, allora potremmo dedurre che la nostra percezione di vivere in un mondo tridimensionale sia una limitazione alla conoscenza della realtà e quindi che le capacità limitate di ogni essere vivente si adoperino affinchè egli sviluppi una concezione solo dello spazio in cui vive e basi la sua intera esistenza secondo le possibilità che la sua dimensione gli offre.

Le prime ipotesi sull’esistenza di una quarta dimensione cominciarono a svilupparsi tra il XVIII ed il XIX secolo. Fino ad allora si pensava che le dimensioni esistenti fossero esclusivamente tre (altezza, lunghezza, e profondità). Si delinearono, dunque, due correnti di pensiero, coloro i quali ritenevano che la quarta dimensione fosse quella temporale, e coloro i quali la identificavano come dimensione spaziale vera e propria. A tal proposito riporto una frase di Rudy Rucker tratta dal suo libro: “La quarta dimensione”.

“Nessuno è in grado di indicare la quarta dimensione, eppure essa ci circonda.
La quarta dimensione è una direzione diversa da tutte le direzioni dello spazio normale.
Alcuni dicono che la quarta dimensione è costituita dal tempo e, in un certo senso, questo è vero. Altri affermano che la quarta dimensione è una direzione dell' iperspazio affatto diversa dal tempo... e anche questo è vero”.
Rudy Rucker
Ritenere che la quarta dimensione sia la dimensione temporale è una opinione che deriva dalla teoria della relatività. Tale teoria venne formulata tra il 1905 e il 1913 dal fisico tedesco Albert Einstein, e si divide in due modelli matematici: la relatività ristretta, e la relatività generale. Prima della formulazione di questa teoria le scoperte di Galileo e Newton avevano portato a negare l’ esistenza di uno spazio assoluto. Il principio di inerzia e di relatività galileiana introducevano il concetto di uno spazio dipendente dal sistema di riferimento. Tuttavia l’ esistenza di un tempo assoluto era ancora plausibile, e fu rimossa con la relatvità ristretta. Einstein infatti giunse alla conlusione che uno spazio e un tempo assoluti non esistono, e che questi sono entrambi proprietà relative all'osservatore. Infatti tanto maggiore è la velocità dell’ osservatore, tanto più estreme saranno la dilatazione del tempo, e la contrazione delle lunghezze. Lo spazio e il tempo costituiscono quindi un’unica entità, chiamata continuum spazio-temporale, con quattro dimensioni: tre spaziali e una temporale.
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività"
Albert Einstein
Dopo aver completato la teoria della relatività ristretta,che spiegava i fenomeni fisici all’interno di sistemi di riferimento inerziali, Einstein concentrò la sua attenzione sulla formulazione di una teoria che valesse anche per i sistemi accelerati.
Si immagini uno spazio vuoto in cui non esista alcun campo di gravità. In questo spazio ci sia una cabina, e al suo interno un osservatore O. Per questo osservatore non vi è alcun peso, e gli oggetti all’ interno della cabina risultano essere in stato di quiete. Supponiamo ora che un essere cominci a spingere la cabina con una forza costante. Per un osservatore esterno, la cabina ha assunto un moto uniformemente accelerato a causa della forza indotta dalla spinta, mentre per l’ osservatore O è impossibile determinare la natura di quella forza. Esso infatti vedendo che gli oggetti della cabina “cadono” verso il basso concluderà di trovarsi fermo in un campo gravitazionale. Partendo da questa intuizione Einstein affermò che vi è una equivalenza tra un campo gravitazionale uniforme, e un’ accelerazione costante nel sistema di riferimento, tale principio è detto principio di equivalenza.

Il principio di equivalenza è alla base della relatività generale. Partendo da questo presupposto, Einstein cercò di costruire una visione della realtà parallela a quella della legge d'inerzia: mentre per la legge d'inerzia un corpo non sottoposto a forze si muove di moto uniforme, un corpo sottoposto alla sola gravità si muove nello spazio-tempo deformato dal campo gravitazionale, lungo una traiettoria che costituisce il percorso più breve tra due punti. Tutto ciò portò Einstein ad enunciare il principio di relatività generale, secondo cui le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.

Il principio di equivalenza e il principio di relatività generale furono i punti di partenza della teoria della gravitazione di Einstein. Tale teoria prende il nome di relatività generale, ed introdusse due idee fondamentali:
• La presenza di masse incurva lo spazio-tempo;
• I corpi soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere che si muovono seguendo le geodetiche dello spazio-tempo.


Figura 1 Spaziotempo incurvato da una massa.

Einstein giunse alla conclusione che lo spazio-tempo in assenza di masse si presentava piatto (piatto-tempo), ma in presenza di un corpo dotato di massa formava una curva nella quarta dimensione, che rappresentava il campo gravitazionale generato dal corpo stesso. Dunque i corpi seguivano la curvatura dello spazio seguendo un cammino che costituisce il percorso più breve tra due punti, la retta che congiunge questi punti è detta geodetica, nello spazio euclideo le geodetiche sono segmenti di retta, mentre su una sfera sono archi di circonferenza massima.


"Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?"
Albert Einstein

Dunque secondo la relatività generale la forza gravitazionale non è altro che un effetto della geometria dello spazio. In definitiva le masse dicono allo spazio-tempo come incurvarsi; lo spazio-tempo dice alle masse come muoversi.

Negli stessi anni in cui la definizione di tempo, come quarta dimensione della realtà, veniva postulata in fisica dalla Teoria della Relatività di Einstein, in Europa si manifestò un analogo interesse per le prospettive iperdimensionali nel mondo dell’arte. La contemporaneità dei due fenomeni rimane casuale, senza un reale nesso di dipendenza reciproca. Appare tuttavia singolare come, in due campi diversi tra loro, si avverta la medesima necessità di andare oltre la conoscenza empirica della realtà per giungere a nuovi modelli di descrizione e rappresentazione del reale.

Marcel Duchamp fu uno degli artisti che ebbe un forte interesse per la quarta dimensione. Ne Il nudo che scende le scale, realizzato nel 1912, l’artista sovrappone immagini sfocate di una donna che scende da una scala, esprimendo visivamente la quarta dimensione del tempo. Anche Il grande vetro, che lui stesso definisce l’opera più importante della sua vita, testimonia il suo interesse per l’idea di una dimensione superiore. L’opera è costituita da due lastre di vetro che ospitano al loro interno lamine di metallo, polvere e fili di piombo. Appare come una finestra che apre gli occhi allo spettatore su di una nuova prospettiva, e allude alla quarta dimensione, «Usando il vetro», scrive il critico d’arte Janus, «Duchamp voleva entrare in una dimensione del tutto nuova, nella trasparenza dello spazio, che gli consentisse cioè di attraversare tutta la superficie, e di andare nell’altra parte della sua opera».

Al contrario di Duchamp Picasso utilizza un carattere puramente spaziale. Egli infatti nel tentativo di raffigurare la realtà cosi come essa è, ritrae gli oggetti da più punti di vista, rappresentando sulla tela i diversi piani prospettici. Nel quadro Les damoiselles d’Avignon, ad esempio, le donne sono rappresentate di fronte, tuttavia Picasso ne raffigura i nasi di profilo. In questo modo presenta gli oggetti nella loro totalità, come se si muovesse attorno ad essi nel momento della realizzazione dell’opera. Il risultato è una composizione, o meglio una scomposizione che non può essere compresa nell’immediato, ma ha bisogno di una interpretazione. Egli induce lo spettatore a compiere una sintesi ottico-mnemonica, cosicché possa raffigurarsi la realtà mentalmente. Questo procedimento fa sì che i quadri di Picasso contengano la quarta dimensione perchè le figure tentano di sfuggire dalla tridimensionalità forzata di un'unica prospettiva. Nonostante ciò l’elemento temporale è presente sia nella realizzazione, sia nella fruizione del quadro, infatti se da una parte l’artista ha bisogno di tempo per ottenere la piena conoscenza dell’oggetto, dall’altra lo spettatore compie la sintesi in un tempo prolungato.

Anche Salvator Dalì, che è stato un esponente del movimento Surrealista, si mostra interessato alla tematica della quarta dimensione in quanto uno dei suoi quadri rappresenta la crocifissione di cristo sulla scomposizione di un ipercubo. L’opera è intitolata Corpus Hypercubus e venne realizzata nel 1954. Dalì rappresenta Cristo sospeso a mezz’aria, mentre Gala sta ai piedi della Croce con indosso una sontuosa veste gialla che ricorda quella della Maddalena nella tradizione iconografica cristiana. Sullo sfondo di uno sterminato pavimento a scacchiera si intravede un cupo paesaggio notturno che fa risaltare la figura e rende ancora più intensa la drammaticità della scena. Tuttavia, l’elemento più insolito del dipinto è la croce costituita da otto cubi, che in realtà esprimono la rappresentazione dello sviluppo, nello spazio tridimensionale, di un solido che si studia nella geometria della quarta dimensione: l' ipercubo. La croce, proietta la sua ombra sopra la fredda geometria del pavimento, quasi a sottolineare, la irriducibilità delle diverse dimensioni spaziali. A quanto racconta lo stesso Dalì, l’immagine dell’ipercubo rappresentata nel suo dipinto porta alla massima espressione, la manipolazione delle forme bidimensionali nonché la ricerca della terza dimensione. La croce è un ipercubo ottaedrico, una croce cubica composta da otto solidi, il cubo retrostante è celato alla vista, con il corpo di Cristo identificabile come il nono cubo.

Si è visto come nella teoria della relatività di Einstein era stata introdotta l’idea di tempo come quarta dimensione dello spazio. Questa associazione è diventata piuttosto popolare, tuttavia i matematici, oggi continuano a studiare la geometria della quarta dimensione, indicandola come dimensione spaziale, e non temporale.

L’ipercubo presentato nell’opera di Dalì è una figura che appartiene proprio alla geometria della quarta dimensione. Il prefisso iper è usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, infatti viene utilizzato anche per altre figure geometriche quali l’iper-sfera, o l’iper-piano. L’ipercubo, o tesseratto ( dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi"), è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate e da 8 facce tridimensionali cubiche.

Colui che diede un forte contributo allo studio delle dimensioni superiori fu il matematico inglese Charles Hinton, egli infatti realizzò una serie di immagini che mostravano come farsi una idea dell’aspetto che avrebbero avuto gli oggetti quadridimensionali. Le idee di Hinton di come visualizzare la quarta dimensione ricorrevano allo sviluppo e all’analogia.

Si consideri la sequenza punto, segmento, quadrato, cubo. Il punto non è possibile disegnarlo perche è una figura a zero dimensioni, tuttavia è possibile intuirlo rappresentando un piccolo disco. Muovendo un punto lungo una retta si genera un segmento, una figura unidimensionale che può essere disegnata come una linea. Se muoviamo un segmento in una direzione perpendicolare a se stesso, otteniamo un quadrato bidimensionale. Infine se muoviamo il quadrato in una direzione perpendicolare al piano su cui esso giace, si genererà un cubo tridimensionale. Ora, procedendo per analogia, trasciniamo il cubo in una direzione perpendicolare alle altre tre, ovvero nella quarta dimensione, e otterremo un ipercubo quadri-dimensionale: non è possibile disegnare un oggetto del genere, ma è possibile rappresentarne soltanto una sua proiezione.



Figura 6 Rappresentazione di un ipercubo in tre dimensioni.

Un modo per poter disegnare un ipercubo è riccorrere all’ intuizione umana che pur essendo uno strumento potente, a volte necessita di suporti reali, magari visivi. Basti pensare alla rappresentazione di un cubo. Tale figura geometrica raffigurata su un foglio appare bidimensionale, e sarebbe difficile da intuire se non ne avessimo un’ esperienza visiva che ci permettesse di ricondurla alla realtà tridimensionale. Dunque, procedendo per analogia, se due quadrati sfalsati, con i vertici uniti a due a due, rappresentano la figura solida del cubo, due cubi con i vertici uniti a coppie, dovrebbero rappresentare un tesseratto, ovvero un ipercubo.

Esiste anche un’ altra via per ottenere la visione della struttura di un tesseratto, e consiste nel ricorso allo “sviluppo”, ovvero la costruzione in una dimensione inferiore di un modello formato dalle varie parti costitutive dell’ oggetto, che poi, ripiegato nella dimensione superiore possa restituire l’ oggetto di partenza. Ancora una volta è opportuno riccorere all’ analogia. Un cubo può essere sviluppato “ritagliando” le sei facce e aprendole su un piano bidimensionale, le facce sono proprio i sei quadrati che delimitano il volume del cubo nello spazio tridimensionale.


Figura 7 Sviluppo di un cubo.

In modo analogo un tesseratto può essere sviluppato “ritagliando” gli otto cubi che lo compongono, e aprendoli nello spazio tridimensionale, ancora una volta i cubi sono le facce che delimitano il volume del tesseratto nello spazio quadridimensionale. Bisogna notare che lo sviluppo del tesseratto non è altro che la figura rappresentata da Dalì nel suo dipinto “Corpus Hypercubus” di cui abbiamo parlato prima. Sicuramente però è meno chiaro riconoscere come vadano a combaciare gli otto cubi nel “ripiegamento” nell’ iperspazio (spazio quadridimensionale).
Per analogia comprendiamo che la faccia superiore e quella inferiore andranno a coincidere nella ricomposizione dell’ipercubo, similmente a quanto accade nello sviluppo del cubo con i lati superiore e inferiore.


Figura 8 Sviluppo di un ipercubo.

Per Kant la proposta di una struttura dello spazio che includa dimensioni superiori alla terza è possibile. Nel 1827 il matematico Möbius fece un’osservazione che nessuno aveva fatto prima, e diede così il nome alla striscia di Möbius, una superficie non orientabile e continua.

Da ciò dedusse che in uno spazio quadri-dimensionale un oggetto, come una mano, potrebbe essere rovesciato su se stesso in modo da diventare la sua controparte.

Si può chiarire il concetto ricorrendo alla analogia. Se prendiamo la lettera ‘p’ e la lettera ‘q’, entrambe confinate in una stampa bidimensionale, ci accorgiamo che queste sono la stessa figura “ribaltata”. Tuttavia noi abbiamo la possibilità di ribaltare la lettera solo perchè essa appartiene ad uno spazio inferiore al nostro, infatti nel compiere questa operazione noi alziamo la lettera dal piano in cui giace, la portiamo nella terza dimensione, e la posiamo nuovamente sul piano dopo averla girata su se stessa. Ipoteticamente sarebbe lo stesso processo che andrebbe fatto con una mano tridimensionale portata nella quarta dimensione. Questo fatto fu rilevante per Kant, egli affermò che una mano completamente sola nell’ universo sarebbe potuta essere sia sinistra che destra. In questo modo diventa estremamente plausibile l’esistenza di una quarta dimensione. Infatti se lo spazio quadri-dimensionale è possibile, allora la differenza tra destra e sinistra non è altro che la differenza tra ‘p’ e ‘q’.
Inoltre Kant compie una analisi dei concetti di spazio e tempo di cui abbiamo parlato fin’ora. Infatti abbiamo visto che la quarta dimensione viene a volte identificata con la dimensione temporale, altre volte ipotizzata come dimensione spaziale vera e propria. L’ analisi viene operata da Kant nella Critica della ragion pura, e più precisamente nell’ estetica trascendentale. In questa parte dell'opera si studiano le condizioni a priori che rendono possibile la conoscenza sensibile.
Lo spazio è inteso da Kant come forma del "senso" esterno, cioè come modo di spazializzare: ad esempio il modo in cui vediamo una casa, un albero o un’altra persona. Lo spazio non può infatti essere conosciuto a posteriori dall’esperienza per esempio osservando due oggetti e la loro posizione reciproca in quanto già il poter stabilire una distanza tra loro presuppone l’esistenza dello spazio stesso. Lo spazio è quindi una intuizione appartenente al soggetto grazie alla quale ci è permessa una intuizione esterna.
Il tempo è invece mezzo per collocare i sentimenti in una linea temporale. Il tempo ordina sia le sensazioni interne sia le sensazioni esterne, lo spazio solo quelle esterne. Se lo spazio è la forma secondo cui il soggetto avverte i fenomeni esterni, il tempo è la forma in cui il soggetto avverte le proprie modificazioni interne. Così il tempo non viene ricavato dall’esperienza ma è il fondamento interiore dell’animo che permette di definire se alcuni avvenimenti sono avvenuti simultaneamente o meno.
Kant ritiene che ogni nostra sensazione sia contraddistinta da spazio e tempo. Spazio e tempo quindi non sono nè una realtà oggettiva, nè semplici relazioni tra oggetti, ma piuttosto forme a priori della sensibilità umana. Esse condizionano ogni esperienza sensibile, poiché ogni oggetto percepito attraverso i sensi viene automaticamente temporalizzato e spazializzato dalla nostra sensibilità.

“Se la quarta dimensione esiste e noi ne possediamo solo tre, ciò significa che noi non abbiamo un’esistenza reale, che esistiamo solo nell’immaginazione di qualcuno e che tutti i nostri pensieri, sentimenti ed esperienze hanno luogo nella mente di qualche altro essere superiore, che ci immagina. Siamo solo prodotti della sua mente e tutto il nostro universo non è altro che un mondo artificiale creato dalla sua fantasia.”
P. D. Ouspensky


Bibliografia

Edwin A. Abbott, Flatlandia: Racconto fantastico a più dimensioni, Gli Adelphi, 2009;
John D. Barrow, I numeri dell’universo: Le costanti di natura e la Teoria del Tutto, Mondadori, 2009;
Rudy Rucker, La quarta dimensione: un viaggio guidato negli universi di ordine superiore, Gli Adelphi, 1994;

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